行列式的性质
时间:2020-08-03 出处:U生活通
连结:行列式的定义在本文中,二阶行列式的定义是 \(\left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}&{{b_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}}&{{b_{ 2}}} \end{array} } \right| = {a_{ 1}}{b_{ 2}} – {a

连结:行列式的定义

在本文中,二阶行列式的定义是 \(\left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}&{{b_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}}&{{b_{ 2}}} \end{array} } \right| = {a_{ 1}}{b_{ 2}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}\)

三阶行列式的定义则是

\(\left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}&{{b_{ 1}}}&{{c_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}}&{{b_{ 2}}}&{{c_{ 2}}}\\ {{a_{ 3}}}&{{b_{ 3}}}&{{c_{ 3}}} \end{array} } \right| = {a_{ 1}} \cdot \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 2}}}&{{c_{ 2}}}\\ {{b_{ 3}}}&{{c_{ 3}}} \end{array} } \right| – {a_{ 2}} \cdot \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}&{{c_{ 1}}}\\ {{b_{ 3}}}&{{c_{ 3}}} \end{array} } \right| + {a_{ 3}} \cdot \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}&{{c_{ 1}}}\\ {{b_{ 2}}}&{{c_{ 2}}} \end{array} } \right| = {a_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {a_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} + {a_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {a_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {a_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}\) 

我们称直的为行,由左而右依序是第1行、第2行、…;称横的为列,由上而下依序是第1列、第2列、…。利用定义,很容易可以推出下列二阶与三阶行列式性质,证明就略去。

上述这些性质,在四阶以上的行列式也都成立,读者不妨自行验证看看。现在,让我们利用这些性质再重新计算前文〈行列式的定义〉中的三阶与四阶行列式的例子:

1 \(\left| { \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{array} } \right| = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ {4 – 1}&{5 – 2}&{6 – 3}\\ {7 – 1}&{8 – 2}&{9 – 3} \end{array} } \right| = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 3&3&3\\ 6&6&6 \end{array} } \right| = 0\)

例2: \(\left| { \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ 5&6&7&8\\ 9&{10}&{11}&{12}\\ {13}&{14}&{15}&{16} \end{array} } \right| = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ {5 – 1}&{6 – 2}&{7 – 3}&{8 – 4}\\ {9 – 1}&{10 – 2}&{11 – 3}&{12 – 4}\\ {13}&{14}&{15}&{16} \end{array} } \right| = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ 4&4&4&4\\ 8&8&8&8\\ {13}&{14}&{15}&{16} \end{array} } \right| = 0\)

在计算行列式之值时,若能适当地应用性质,有时候就能大幅减少计算量与複杂度。虽然性质有好几个,但熟能生巧,读者多找几个例子练习后,就能充分掌握这些性质了。最后,我们要用这些性质来证明。

行列式的性质

证明 \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{{a^2}}\\ 1&b&{{b^2}}\\ 1&c&{{c^2}} \end{array}} \right| = (b – a)(c – a)(c – b)\) 有两个目的,首先,它是行列式中名气最大的一个,有个响噹噹的名字叫「范德蒙行列式」,学了行列式却不认得它,有点说不过去!

其次,我们也可以用「暴力」来证明范德蒙行列式,就是把 \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{{a^2}}\\ 1&b&{{b^2}}\\ 1&c&{{c^2}} \end{array}} \right|\) 的值(展开式)乘出来,再把乘开,两相比较后,就知道等号成立了。这个「暴力证法」其实有个大问题,就是若我们不知道等号右边的模样,那该怎幺办?把\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{{a^2}}\\ 1&b&{{b^2}}\\ 1&c&{{c^2}} \end{array}} \right|\) 的值(展开式)做因式分解吗?这难度更高了!藉由此例,我们知道适当的运用行列式的性质,不但可以简化计算,更可以同时达到分解的效果,一举两得,何乐而不为?

连结:行列式的应用



上一篇: 下一篇: